Dlaczego ryzyko potrzebuje skali logarytmicznej? Od jasności gwiazd do strat finansowych

Człowiek nie postrzega świata tak, jak robi to miernik.

Miernik rejestruje wartość fizyczną: natężenie światła, ciśnienie akustyczne, częstotliwość dźwięku albo masę przedmiotu. Człowiek odbiera wrażenie: jasno, głośno, wysoko, ciężko.

Między wartością fizyczną bodźca a naszym odczuciem nie ma prostego przełożenia jeden do jednego.

Żarówka emitująca dwa razy więcej światła nie musi wydawać się dwa razy jaśniejsza. Dźwięk o dziesięciokrotnie większej intensywności nie jest odbierany jako dziesięć razy głośniejszy. Dodatkowy kilogram będzie wyraźnie zauważalny, gdy trzymamy w ręku niewielki pakunek, lecz może pozostać niemal niezauważony przy podnoszeniu ciężaru ważącego kilkadziesiąt kilogramów.

Nasz układ nerwowy nie mierzy bezwzględnych różnic z jednakową dokładnością. Znacznie częściej reaguje na proporcje.

Mózg buduje obraz świata

Narządy zmysłów przekształcają energię fizyczną w impulsy nerwowe. Ten proces nazywa się transdukcją. Informacja jest następnie filtrowana, porównywana z wcześniejszymi doświadczeniami i interpretowana w określonym kontekście.

Nie odbieramy więc prostego zapisu otoczenia. Otrzymujemy jego przetworzoną reprezentację.

Ma to swoje uzasadnienie. Zakres wartości występujących w naturze jest ogromny. Oko musi radzić sobie zarówno ze światłem gwiazd, jak i ze słonecznym dniem. Ucho rozpoznaje cichy szelest, rozmowę, ruch uliczny i huk. Gdyby układ nerwowy odwzorowywał cały ten zakres liniowo, większość jego możliwości zostałaby zużyta na obsługę największych bodźców.

Organizm stosuje więc coś w rodzaju kompresji danych.

W XIX wieku Ernst Weber zauważył, że najmniejsza dostrzegalna zmiana bodźca jest w przybliżeniu proporcjonalna do jego początkowej wartości. Gustav Fechner wyprowadził z tego wniosek, że odczuwana intensywność może rosnąć mniej więcej jak logarytm intensywności fizycznego bodźca. Relacja ta jest dziś znana jako prawo Webera-Fechnera. Nie opisuje idealnie wszystkich zmysłów i całego zakresu bodźców, ale dobrze pokazuje ogólną zasadę: wraz ze wzrostem wartości fizycznej potrzebujemy coraz większej zmiany, aby odczuć podobną różnicę. Późniejsze badania zaproponowały również inne modele, między innymi potęgowe prawo Stevensa.

Najłatwiej zauważyć to na przykładach skal, z których korzystamy od dawna.

Sześć stopni jasności gwiazd

Jedna z najstarszych skal służących do opisywania obserwowanego świata powstała w astronomii.

Hipparch podzielił gwiazdy widoczne gołym okiem na sześć klas. Najjaśniejsze zaliczył do pierwszej wielkości gwiazdowej, a najsłabsze do szóstej. Był to podział obserwacyjny, oparty na tym, jak człowiek postrzega jasność.

Dopiero w XIX wieku Norman Pogson nadał tej skali ścisłą interpretację matematyczną. Różnica pięciu wielkości gwiazdowych odpowiada stukrotnej różnicy strumienia światła. Jeden stopień skali oznacza zatem zmianę jasności około 2,512 razy. Skala jest odwrócona: im mniejsza wartość, tym jaśniejszy obiekt.

To ciekawy przykład przejścia od skali porządkowej do skali ilościowej.

Pierwotne klasy od 1 do 6 mówiły jedynie, która gwiazda jest jaśniejsza. Nie informowały dokładnie, ile razy jest jaśniejsza. Po zdefiniowaniu matematycznej relacji każdy krok otrzymał jednoznaczne znaczenie.

Sześć prostych poziomów pozwoliło opisać zakres jasności różniący się stukrotnie.

Astronomowie nie próbowali podzielić tego zakresu na sto równych części. Zastosowali kilka kategorii, pomiędzy którymi występuje stała proporcja.

Dwanaście dźwięków, wiele częstotliwości

Podobną zasadę znajdziemy w muzyce.

Wysokość dźwięku jest związana z częstotliwością drgań. Dźwięk o częstotliwości 440 Hz odpowiada standardowemu dźwiękowi A. Tę częstotliwość określa norma ISO 16, potwierdzona jako aktualna w 2022 roku.

Gdy częstotliwość wzrośnie z 440 Hz do 880 Hz, usłyszymy dźwięk o oktawę wyższy. Kolejna oktawa będzie miała 1760 Hz.

Wartości fizyczne rosną więc następująco:

440 Hz → 880 Hz → 1760 Hz → 3520 Hz

Różnice liczbowe nie są jednakowe:

• 440 Hz,

• 880 Hz,

• 1760 Hz.

  
  

Stała pozostaje proporcja. Każda kolejna oktawa oznacza podwojenie częstotliwości.

W stroju równomiernie temperowanym oktawa została podzielona na dwanaście półtonów. Każdy półton zwiększa częstotliwość w tej samej proporcji:

2¹⁄¹² ≈ 1,0595

Po wykonaniu dwunastu takich kroków częstotliwość zostaje podwojona.

Klawisze fortepianu są rozmieszczone równomiernie. Odpowiadające im częstotliwości nie są jednak równomiernie rozłożone na skali liniowej. Stają się równomierne dopiero wtedy, gdy przedstawimy je logarytmicznie.

Ponownie niewielka liczba rozpoznawalnych poziomów pozwala opisać znacznie szerszy zakres wartości fizycznych.

Dlaczego dźwięk mierzymy w decybelach

Natężenie dźwięku obejmuje tak duży zakres, że stosowanie surowych wartości liniowych byłoby niewygodne.

Dlatego poziom dźwięku zwykle wyrażamy w decybelach.

Decybel nie opisuje bezpośrednio wartości fizycznej. Wyraża logarytm stosunku wartości zmierzonej do wartości odniesienia.

W przypadku mocy lub intensywności dźwięku wzrost o 10 dB oznacza dziesięciokrotny wzrost wartości fizycznej.

Dźwięk o poziomie 80 dB nie jest więc tylko o jedną trzecią bardziej intensywny niż dźwięk 60 dB.

Różnica 20 dB odpowiada stukrotnej różnicy intensywności.

W każdym z tych przykładów występuje podobna prawidłowość:

• wartości fizyczne obejmują kilka rzędów wielkości,

• liczba użytecznych kategorii pozostaje stosunkowo mała,

• kolejne poziomy różnią się proporcją, a nie jednakową wartością bezwzględną.

Zdarzenia nie występują w równych odstępach

Rozważmy siedmiostopniową skalę częstości zdarzeń.

Wariant liniowy mógłby opisywać kolejne poziomy jako jedno, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć i siedem zdarzeń rocznie.

Taka skala obejmuje bardzo wąski zakres. Nie da się na niej sensownie umieścić jednocześnie zdarzenia oczekiwanego raz na sto lat i zdarzenia występującego co tydzień.

Można zastosować opisy słowne:

bardzo rzadkie, rzadkie, możliwe, prawdopodobne, bardzo prawdopodobne

Są łatwe w użyciu, ale różne osoby mogą rozumieć je inaczej. Dla jednego menedżera zdarzenie występujące raz na pięć lat będzie rzadkie. Dla innego będzie już możliwe.

Bardziej spójne wyniki daje skala oparta na mierzalnej częstości.

Przykładowa skala siedmiostopniowa może wyglądać następująco:

Poziom	Liczba zdarzeń w ciągu 100 lat	Przybliżona interpretacja
1	1	raz na 100 lat
2	4	raz na 25 lat
3	20	raz na 5 lat
4	80	mniej więcej raz na 15 miesięcy
5	300	około 3 razy w roku
6	1500	około 15 razy w roku
7	6000	około 60 razy w roku

Kolejne wartości rosną w przybliżeniu czterokrotnie.

Siedem poziomów pozwala dzięki temu opisać częstości od jednego zdarzenia na sto lat do ponad jednego zdarzenia tygodniowo.

Skala liniowa obejmująca ten sam zakres byłaby niemal bezużyteczna. Kolejne poziomy dzieliłoby około tysiąca zdarzeń na sto lat. Zdarzenia występujące raz na sto lat, raz na dziesięć lat i kilka razy w roku mogłyby znaleźć się w najniższej kategorii.

Ich znaczenie zarządcze jest jednak wyraźnie inne.

Straty finansowe również obejmują kolejne rzędy wielkości

Podobne rozumowanie można zastosować do skutków finansowych.

Organizacja może porównywać straty wynoszące:

10 tys. zł, 100 tys. zł, 1 mln zł i 10 mln zł

Różnice pomiędzy tymi wartościami nie są równe.

Różnica pomiędzy 10 tys. a 100 tys. zł wynosi 90 tys. zł.

Różnica pomiędzy 1 mln a 10 mln zł wynosi 9 mln zł.

W obu przypadkach mamy jednak taką samą proporcję: dziesięciokrotny wzrost.

Z punktu widzenia podejmowania decyzji proporcja często mówi więcej niż bezwzględna różnica.

Przykładowa siedmiostopniowa skala skutków finansowych może wykorzystywać następujące wartości reprezentatywne:

Poziom	Reprezentatywna wartość straty
1	10 tys. zł
2	30 tys. zł
3	100 tys. zł
4	300 tys. zł
5	1 mln zł
6	3 mln zł
7	10 mln zł

Kolejne wartości rosną około trzykrotnie.

Skala ma więc strukturę wykładniczą. Numer poziomu rośnie arytmetycznie : 1, 2, 3, 4; ale reprezentowana strata rośnie geometrycznie.

Nie oznacza to, że każda organizacja powinna stosować dokładnie takie kwoty.

Strata 1 mln zł może zagrozić płynności małej spółki. W dużej instytucji może być kosztem operacyjnym, który nie wpłynie istotnie na realizację celów.

Progi finansowe należy odnieść do sytuacji organizacji, między innymi do:

• rocznych przychodów albo budżetu operacyjnego,

• posiadanych rezerw,

• kosztu odtworzenia usługi,

• akceptowalnych limitów strat,

• wpływu na płynność,

• konsekwencji dla celów organizacji.

  
  

Skala powinna opisywać rzeczywistość organizacji, a nie powielać wartości zaczerpnięte z gotowego szablonu.

Numer poziomu nie jest wartością mierzoną

To jedno z najważniejszych rozróżnień w analizie ryzyka.

Skala zawiera co najmniej trzy różne elementy:

1. numer kategorii,

2. przedział wartości przypisany do kategorii,

3. wartość reprezentatywną tego przedziału.

   
   

Liczba 5 może być wyłącznie etykietą.

Nie oznacza automatycznie pięciu zdarzeń, 5 mln zł ani skutku pięć razy większego niż na poziomie 1.

Ma to znaczenie podczas stosowania macierzy ryzyka.

Załóżmy, że prawdopodobieństwo otrzymało poziom 4, a skutek poziom 3. Po ich pomnożeniu otrzymujemy:

4 × 3 = 12

Co oznacza 12?

• Nie jest częstością.

• Nie jest kwotą straty.

• Nie jest oczekiwaną stratą roczną.

• Nie ma jednostki.

  
  

Wynik powstał przez pomnożenie numerów kategorii. Jeżeli numery te nie zostały zbudowane jako wartości na odpowiednich skalach ilościowych, działanie nie ma jednoznacznej interpretacji pomiarowej.

Macierz ryzyka nie staje się ilościowa tylko dlatego, że wpisaliśmy do niej cyfry.

Kiedy mnożenie jest uzasadnione

Mnożenie może być uzasadnione, gdy używane wartości opisują mierzalne wielkości.

Załóżmy, że zdarzenie występuje średnio 0,2 raza w roku, a przeciętna strata spowodowana pojedynczym zdarzeniem wynosi 300 tys. zł.

Oczekiwana strata roczna wynosi:

0,2 × 300 tys. zł = 60 tys. zł rocznie

Wynik ma jasną interpretację i określoną jednostkę.

Jest to zupełnie inna sytuacja niż mnożenie dwóch numerów kategorii porządkowych.

Matematyka może być użyteczna w analizie ryzyka. Trzeba jednak stosować ją do wartości, których znaczenie zostało jednoznacznie zdefiniowane.

Jak zbudować logarytmiczną skalę ryzyka

Budowa użytecznej skali nie powinna zaczynać się od wypisania liczb 1, 2, 3, 4 i 5.

Najpierw trzeba określić zjawisko, które chcemy mierzyć.

Dla częstości zdarzeń zakres może rozciągać się od jednego zdarzenia na sto lat do kilku zdarzeń tygodniowo.

Dla skutków finansowych może obejmować straty od 10 tys. do 10 mln zł.

Dla niedostępności usługi - od kilku minut do kilku tygodni.

Następnie należy określić:

1. Mierzoną wielkość

   Częstość, stratę finansową, czas niedostępności, liczbę osób dotkniętych skutkami albo inną możliwą do obserwacji wartość.

2. Jednostkę

   Zdarzenia rocznie, złote, godziny, rekordy albo osoby.

3. Wartość minimalną i maksymalną

   Zakres powinien odpowiadać scenariuszom istotnym dla organizacji.

4. Liczbę poziomów

   Zwykle wystarcza od kilku do kilkunastu kategorii. Większa liczba może tworzyć wrażenie dokładności, której dostępne dane nie uzasadniają.

5. Granice przedziałów

   Każda oceniana wartość powinna trafiać do jednoznacznie określonej kategorii.

6. Wartość reprezentatywną

   Może być wykorzystywana w obliczeniach lub porównaniach, gdy potrzebna jest pojedyncza liczba.

   
   

Środek przedziału logarytmicznego

W przedziale logarytmicznym średnia arytmetyczna zwykle nie wyznacza proporcjonalnego środka.

Rozważmy przedział strat od 10 tys. do 100 tys. zł.

Średnia arytmetyczna wynosi:

55 tys. zł

Nie znajduje się jednak w połowie przedziału pod względem proporcji.

Średnia geometryczna wynosi:

√(10 tys. zł × 100 tys. zł) ≈ 31,6 tys. zł

Proporcje są teraz symetryczne:

• 31,6 tys. zł jest około 3,16 razy większe niż 10 tys. zł,

• 100 tys. zł jest około 3,16 razy większe niż 31,6 tys. zł.

  
  

Średnia geometryczna stanowi więc środek przedziału rozpatrywanego na skali logarytmicznej. Może być wykorzystana jako wartość reprezentatywna kategorii.

Skala ma wspierać decyzje

Celem skali ryzyka nie jest usunięcie niepewności.

Ma ona porządkować informacje w sposób, który pozwala porównywać scenariusze, przydzielać zasoby i oceniać zasadność działań ograniczających ryzyko.

Jeżeli strata 10 tys. zł i strata 1 mln zł zostaną umieszczone w tej samej kategorii, organizacja traci informację potrzebną do ustalania priorytetów wydatków na zabezpieczenia.

Jeżeli zdarzenie oczekiwane raz na dziesięć lat otrzyma ten sam poziom prawdopodobieństwa co zdarzenie występujące co miesiąc, rejestr ryzyk ukryje znaczącą różnicę.

Może to prowadzić do nadmiernych wydatków na scenariusze o niewielkich skutkach oraz do niedostatecznego zabezpieczenia ryzyk, które mogą zagrozić realizacji celów organizacji.

Skala logarytmiczna nie usuwa niepewności. Pozwala jednak uniknąć spłaszczania szerokich zakresów wartości do kilku nieprecyzyjnych kategorii.

Ułatwia także audyt metodyki. Organizacja może wykazać, co oznacza każdy poziom, gdzie przebiegają granice i dlaczego określony scenariusz otrzymał daną ocenę.

Od kolorowej macierzy do użytecznej informacji

System GRC powinien przechowywać więcej niż nazwę i numer kategorii ryzyka.

Powinien rejestrować również:

• jednostki pomiaru,

• granice przedziałów,

• wartości reprezentatywne,

• zasady wykonywania obliczeń,

• przyjęte założenia i wykorzystane źródła,

• zmiany wprowadzane podczas kolejnych ocen.

  
  

W Gladiusie 6.0 skale ryzyka mogą być konstruowane właśnie w taki sposób. Numery kategorii wspierają prezentację wyników, a przypisane do nich przedziały i wartości reprezentatywne stanowią podstawę spójnej analizy.

Siedem poziomów przestaje być wtedy siedmioma umownymi polami w macierzy.

Staje się uporządkowaną reprezentacją rzeczywistych różnic w częstości zdarzeń, wysokości strat, czasie niedostępności usług i innych konsekwencjach.

Ta sama zasada od dawna pomaga nam opisywać jasność gwiazd, wysokość dźwięku i jego natężenie.

Nie ma powodu, aby analiza ryzyka ją pomijała.